Sesión 10: Series de Tiempo

1. Logro de la sesión

Modelar series temporales integrando descomposición, estacionariedad y pruebas, ARIMA/SARIMA, Prophet y modelos tabulares con features de tiempo (lags, ventanas, calendario), con métricas adecuadas (MAE, RMSE, MAPE, MASE, sMAPE) y validación temporal sin data leakage. El alumno debe distinguir cuándo un enfoque estadístico clásico aporta parsimonia e intervalos de predicción bien estudiados frente a cuándo el ML tabular con covariables exógenas es más competitivo.

2. Historia y contexto

Lectura transversal: en series, el orden temporal no es un detalle de implementación: define qué información es legítima en entrenamiento y qué constituye leakage si se mezcla con el futuro.

3. Componentes de una serie y descomposición

Una serie ${Y_t}$ suele descomponerse en piezas interpretables:

• Tendencia $T_t$: movimiento lento del nivel medio (crecimiento, saturación, declive).
• Estacionalidad $S_t$: patrón que se repite con periodo fijo $s$ (día, semana, año).
• Ciclos: oscilaciones sin periodo fijo estricto (ciclos económicos); a veces se absorben en tendencia flexible o en modelos con muchos grados de libertad.
• Ruido $R_t$ o $\varepsilon_t$: componente irregular, idealmente no predecible con la información disponible.

Descomposición aditiva:

Descomposición multiplicativa:

La forma multiplicativa es razonable cuando la amplitud estacional crece con el nivel (ventas que escalan). En la práctica se suele trabajar en logaritmos para volver a un esquema aditivo sobre $\log Y_t$, siempre que $Y_t > 0$.

Métodos clásicos de estimación de $T_t$ y $S_t$: medias móviles centradas, STL (Seasonal-Trend decomposition using Loess), o componentes paramétricas dentro de Prophet. La descomposición no sustituye un modelo predictivo completo, pero orienta sobre necesidad de diferenciación, periodo $s$ y presencia de outliers estructurales.

4. Estacionariedad

4.1 Intuición

Una serie es débilmente estacionaria (simplificando) si:

1. $\mathbb{E}[Y_t]$ no depende de $t$ (media constante).
2. $\mathrm{Cov}(Y_t, Y_{t-h})$ solo depende del rezago $h$, no de $t$.

Muchos modelos lineales clásicos (ARMA) asumen estacionariedad después de transformaciones (diferencias, log).

4.2 Diferenciación

El operador retraso $B$ cumple $B Y_t = Y_{t-1}$. La diferencia regular es:

Aplicar $d$ veces conduce a $(1-B)^d Y_t$. En presencia de estacionalidad con periodo $s$, se usa también $(1-B^s)^D$ en SARIMA.

4.3 Pruebas habituales

Cuidado: las pruebas son sensibles a tamaño de muestra, estructura estacional y cambios de régimen. No sustituyen el diagnóstico de residuos ni la validación out-of-sample.

5. ARIMA y SARIMA

5.1 ARMA en notación de operadores

Un proceso ARMA$(p,q)$ (estacionario) satisface:

donde $\varepsilon_t$ es ruido blanco, y:

ARIMA$(p,d,q)$: si $Y_t$ no es estacionaria en media, se modela $\phi(B)(1-B)^d Y_t = \theta(B)\varepsilon_t$ (con la notación estándar que incorpora $(1-B)^d$ en el lado izquierdo según la parametrización del software).

5.2 SARIMA

SARIMA extiende ARIMA con polinomios en $B^s$ para capturar estacionalidad con periodo $s$:

Los órdenes se denotan SARIMA$(p,d,q)(P,D,Q)_s$. Ejemplo: datos mensuales con año fuerte → $s=12$.

5.3 ACF y PACF como guía exploratoria

• ACF (autocorrelation function): correlación entre $Y_t$ y $Y_{t-h}$.
• PACF (partial ACF): correlación entre $Y_t$ y $Y_{t-h}$ eliminando la explicación lineal intermedia $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-h+1}$.

Estas funciones sugieren órdenes $p,q,P,Q$ en procesos teóricos simples; en datos reales ruidosos, la selección final debe apoyarse en AIC/BIC y en rendimiento predictivo en horizonte.

5.4 Diagnóstico de residuos

Tras ajustar el modelo, los residuos $\hat{\varepsilon}_t$ deberían comportarse como ruido blanco:

• ACF de residuos sin picos significativos.
• Ljung–Box (o Box–Pierce): contraste de autocorrelación conjunta en varios rezagos.

Si persiste estructura, el modelo está incompleto (falta estacionalidad, variable exógena, o cambio de régimen).

5.5 Selección de órdenes y validación

En statsmodels, ARIMA y SARIMAX permiten buscar rejillas pequeñas de $(p,d,q)$ y $(P,D,Q)$ minimizando AIC o BIC. BIC tiende a penalizar más la complejidad. Para el rendimiento final, compare siempre con error en test temporal (no solo criterios dentro de muestra).

Python (referencia): statsmodels.tsa.statespace.sarimax.SARIMAX, o statsmodels.tsa.arima.model.ARIMA según versión.

6. Prophet (visión práctica y límites)

Prophet descompone:

• $g(t)$: tendencia piecewise con changepoints posibles.
• $s(t)$: estacionalidades suaves vía bases de Fourier (anual, semanal, etc.).
• $h(t)$: efectos de festividades y eventos puntuales.

Ventajas en producción: tolerancia razonable a datos faltantes, estacionalidades múltiples, incorporación de vacaciones por calendario.

Límites: dinámicas fuertemente no lineales o dependientes de covariables externas ricas pueden requerir regresores adicionales en Prophet o pasar a ML tabular. Los intervalos de predicción dependen de supuestos del modelo; conviene calibrar con validación temporal.

7. Machine learning con features temporales

7.1 Tabla supervisada desde la serie

Se construye un par $(X_t, y_t)$ donde $y_t$ es el valor a predecir (p. ej. demanda del día $t$) y $X_t$ incluye:

• Lags: $y_{t-1},\ldots,y_{t-L}$.
• Estadísticos de ventana: medias móviles, desviaciones, máximos/mínimos en $W$ pasos.
• Calendario: día de la semana, mes, indicadores de festivo.
• Diferencias: $\Delta y_t$, aceleraciones.
• Covariables exógenas: precio, promoción, clima, tráfico web.

Modelos habituales: LightGBM/XGBoost, Random Forest, regresión ridge/lasso si la dimensionalidad es moderada y se desea interpretabilidad.

7.2 Por qué el split temporal es obligatorio

Si se mezclan filas al azar, el modelo puede “ver el futuro” a través de lags correlacionados con el target en test, inflando métricas. La partición correcta es del tipo: entrenar hasta $T_0$, validar en $(T_0, T_1]$, test en $(T_1, T_2]$.

7.3 Esquemas de validación

• TimeSeriesSplit (expanding window): en cada fold, el train crece y el test es un bloque posterior.
• Rolling-origin (rolling forecast origin): análogo en horizontes de pronóstico múltiples.

8. Métricas de error de pronóstico

MASE suele definirse respecto a un naive (p. ej. $\hat{y}t = y{t-1}$) o naive estacional ($\hat{y}t = y{t-s}$). Valores menores que 1 indican que el modelo mejora el baseline.

9. Baselines que siempre deben evaluarse

Antes de modelos complejos, incluya:

1. Naive: último valor observado.
2. Naive estacional: valor de hace $s$ periodos.
3. Media móvil de corto plazo.

Si ARIMA o XGBoost no superan claramente estos baselines en test temporal, el problema puede ser poca señal, horizonte mal elegido o data leakage en algún feature.

10. Plantillas Python (esquema)

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

# y: Series con índice DatetimeIndex y frecuencia inferida o explícita
model = SARIMAX(y, order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12))
res = model.fit(disp=False)
fc = res.get_forecast(steps=24)
mean_fc = fc.predicted_mean
ci = fc.conf_int()

from prophet import Prophet

df = pd.DataFrame({"ds": fechas, "y": valores})
m = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=True)
m.fit(df)
future = m.make_future_dataframe(periods=30, freq="D")
forecast = m.predict(future)

11. Laboratorio (según sílabo)

• NTB 1 — Series temporales con Prophet y features + modelos ML (XGBoost/LightGBM).
• NTB 2 — Series temporales con ARIMA/SARIMA y diagnóstico de residuos.

12. Profundización: notación ARIMA/SARIMA y Ljung–Box

Un proceso ARMA estacionario puede escribirse como en la sección 5.1. ARIMA incorpora integración $(1-B)^d$. SARIMA añade la parte estacional con retardo $B^s$.

Ljung–Box evalúa si las autocorrelaciones muestrales de los residuos hasta cierto máximo rezago son conjuntamente compatibles con ruido blanco. Rechazar $H_0$ sugiere dependencia residual → revisar órdenes, estacionalidad o necesidad de variables exógenas (SARIMAX con columnas exógenas).

13. Validación temporal con TimeSeriesSplit

from sklearn.model_selection import TimeSeriesSplit

tscv = TimeSeriesSplit(n_splits=5)
for train_idx, test_idx in tscv.split(X):
    X_tr, X_te = X.iloc[train_idx], X.iloc[test_idx]
    y_tr, y_te = y.iloc[train_idx], y.iloc[test_idx]
    # entrenar y evaluar

Nunca use KFold aleatorio sobre filas indexadas por tiempo si los features incluyen lags o estadísticos de ventana que mezclan información temporal.

14. Feature matrix para ML tabular (ejemplo mínimo)

import pandas as pd

df = df.sort_index()
df["lag1"] = df["y"].shift(1)
df["lag7"] = df["y"].shift(7)
df["roll7"] = df["y"].rolling(7).mean()
df["dow"] = df.index.dayofweek
df = df.dropna()
X = df[["lag1", "lag7", "roll7", "dow"]]
y = df["y"]

15. Errores frecuentes

16. Casos de uso del temario (detalle)

Estadístico vs ML: los modelos clásicos suelen ser parsimoniosos y facilitan intervalos basados en supuestos del modelo. El ML destaca con muchas covariables y no linealidades, a costa de más trabajo de ingeniería de features y validación temporal rigurosa.

17. Plantilla ML con TimeSeriesSplit + LightGBM

import numpy as np
import lightgbm as lgb
from sklearn.model_selection import TimeSeriesSplit
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

tscv = TimeSeriesSplit(n_splits=5)
scores = []
for tr, va in tscv.split(X):
    model = lgb.LGBMRegressor(n_estimators=500, learning_rate=0.05, random_state=42)
    model.fit(X.iloc[tr], y.iloc[tr])
    pred = model.predict(X.iloc[va])
    scores.append(mean_absolute_error(y.iloc[va], pred))
print("MAE medio (CV temporal):", float(np.mean(scores)))

18. Horizonte de pronóstico y recursión

En predicción multi-paso, puede usarse estrategia directa (un modelo por horizonte) o recursiva (alimentar predicciones como lags futuros). La recursiva acumula error; la directa exige más datos y modelos. Esta distinción afecta a la comparación justa entre ARIMA (típicamente recursiva en implementaciones estándar) y ML (a menudo directa por horizonte).

19. Intervalos de predicción vs incertidumbre del modelo

• Intervalos paramétricos (SARIMAX): asumen forma del error y correcta especificación.
• Conformal prediction y bootstrap de residuos: alternativas en la práctica cuando el modelo es aproximado.

En negocio, comunicar banda de error es tan importante como el punto de pronóstico.

20. Checklist antes de entregar un pronóstico

1. ¿Índice temporal ordenado y con frecuencia explícita?
2. ¿Train/val/test temporales?
3. ¿Baselines naive comparados?
4. ¿Residuos sin estructura (si hay modelo clásico)?
5. ¿Métrica alineada con el coste del error (sobre- vs sub-estimar)?

21. Suavizado exponencial (puente hacia ETS y ARIMA)

El suavizado exponencial simple actualiza el nivel $\ell_t$ con:

Valores altos de $\alpha$ reaccionan rápido a cambios (más varianza en el pronóstico); valores bajos producen series suavizadas. Las extensiones Holt (tendencia) y Holt–Winters (estacionalidad) son familias ETS (Error, Trend, Seasonality) que se mapean a ciertos ARIMA equivalentes en casos lineales. Conocer ETS ayuda a entender por qué ARIMA y métodos de suavizado a menudo compiten en benchmarks de series univariadas.

22. Variables exógenas (SARIMAX)

Cuando hay regresores $x_{t}$ observables (promociones, clima), SARIMAX extiende SARIMA con términos exógenos en la ecuación de media. La validación temporal sigue siendo obligatoria y los regresores futuros deben estar disponibles en el horizonte de pronóstico (o modelarse a su vez).

23. Series múltiples (hierarchical forecasting — mención)

En retail con miles de SKU, los pronósticos deben ser coherentes (la suma de hijos coincide con el padre). Existen métodos de reconciliación (bottom-up, top-down, MinT) que están fuera del detalle de esta sesión pero explican por qué el “mejor modelo por serie” no basta a escala operativa.

24. Trabajo con frecuencias irregulares

Si los timestamps no son equiespaciados, muchas rutinas clásicas fallan o requieren re-muestreo (p. ej. a diario con agregación). La re-muestreo introduce agujeros y alias temporal: documentar la regla (suma vs media, forward-fill prohibido para targets, etc.).

Referencias bibliográficas principales

1. Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C., & Ljung, G. M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Wiley.
2. Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.). OTexts.
3. Taylor, S. J., & Letham, B. (2018). Forecasting at scale. The American Statistician, 72(1), 37–45.
4. Cleveland, R. B., et al. (1990). STL: A seasonal-trend decomposition procedure based on loess. Journal of Official Statistics, 6(1), 3–73.