Sesion 7: Ejercicios de Autovalores y Autovectores

Material de práctica intermedio-avanzado orientado a IA. Cada ejercicio incluye desarrollo paso a paso y explicación aplicada.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1: Autovalores de matriz diagonal

Enunciado (contexto IA): Para $A=\text{diag}(4,1,0.5)$ encuentra autovalores.

Solución paso a paso:

1) En diagonal, autovalores son entradas diagonales. 2) $\lambda=(4,1,0.5)$. 3) Indican factor de estiramiento por dirección. 4) IA: estabilidad de dinámica lineal.

Ejercicio 2: Autovector asociado

Enunciado (contexto IA): Para $A=\text{diag}(4,1,0.5)$ y $\lambda=4$, da un autovector.

Solución paso a paso:

1) Dirección eje 1: $(1,0,0)^T$. 2) $A v=(4,0,0)=4v$. 3) Cualquier múltiplo también sirve. 4) Subespacio propio de dimensión 1.

Ejercicio 3: Polinomio característico

Enunciado (contexto IA): Para $A=\begin{pmatrix}2&1\0&3\end{pmatrix}$, calcula $p(\lambda)$.

Solución paso a paso:

1) $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$. 2) $\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\0&3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)$. 3) Raíces: 2 y 3. 4) Matriz triangular: autovalores en diagonal.

Ejercicio 4: Suma y producto

Enunciado (contexto IA): Si autovalores son 5 y -2, halla traza y determinante.

Solución paso a paso:

1) Traza = suma = 3. 2) Determinante = producto = -10. 3) Verificación rápida de cálculos. 4) Útil para depurar descomposiciones.

Ejercicio 5: Potencia de matriz

Enunciado (contexto IA): Si $Av=1.2v$, calcula $A^5v$.

Solución paso a paso:

1) Aplicación repetida: $A^kv=1.2^k v$. 2) $A^5v=1.2^5v=2.4883v$. 3) Modo crece si $|\lambda|>1$. 4) IA: explica explosión en RNN.

Ejercicio 6: Estabilidad dinámica

Enunciado (contexto IA): Para $x_{t+1}=Ax_t$ con radio espectral 0.8, comportamiento.

Solución paso a paso:

1) Todos modos satisfacen $|\lambda|<1$. 2) Estado tiende a 0 al crecer t. 3) Sistema estable. 4) Relevante en modelos recurrentes.

Ejercicio 7: PCA varianza explicada

Enunciado (contexto IA): Autovalores de covarianza: (6,2,1). % varianza del primer componente.

Solución paso a paso:

1) Varianza total: $9$. 2) Componente 1: $6/9=0.6667$. 3) Explica 66.67%. 4) Selección de dimensionalidad en IA.

Ejercicio 8: Diagonalización conceptual

Enunciado (contexto IA): Condición para diagonalizar en $\mathbb R^n$.

Solución paso a paso:

1) Requiere n autovectores LI. 2) Entonces $A=PDP^{-1}$. 3) Cálculo de potencias se simplifica. 4) Utilidad en análisis teórico de redes lineales.

Ejercicio 9: Matriz simétrica

Enunciado (contexto IA): ¿Qué propiedad espectral tiene una matriz simétrica real?

Solución paso a paso:

1) Autovalores reales. 2) Autovectores ortogonales. 3) Diagonalizable por matriz ortogonal. 4) Clave en PCA (covarianza es simétrica).

Ejercicio 10: Regularización espectral

Enunciado (contexto IA): Si mayor autovalor de Hessiano es 100, ¿por qué reducir LR?

Solución paso a paso:

1) Curvatura alta implica pasos grandes inestables. 2) LR pequeño evita sobrepasar mínimo. 3) Relación aproximada: $\eta<2/\lambda_{max}$ en caso cuadrático. 4) IA: tuning de estabilidad de entrenamiento.